По существу вопроса:
1. Хранение при комнатной температуре. Кулич, как и любой дрожжевой хлеб, черствеет. Под полотенцем он просто медленнее сохнет, но процесс идет. Срок хранения — 3-5 дней, пока не появится плесень.
2. Хранение в холодильнике. Это худший вариант. При температуре от +2 до +6 градусов процесс ретроградации крахмала (по-простому — черствения) ускоряется в несколько раз. Кулич станет жестким и невкусным буквально за сутки. Ваша жена ошибается, думая, что так он сохранится лучше. Он не заплесневеет, да, но станет несъедобным. Клеклым он не станет, он именно зачерствеет, "задубеет".
3. Хранение в морозилке. Если куличей действительно много, это единственный правильный способ. Каждый кулич плотно завернуть в пищевую пленку, потом в пакет и убрать в морозилку. Там он может храниться до 2 месяцев. Размораживать нужно при комнатной температуре, просто оставив на столе на несколько часов. Вкус и мягкость почти полностью восстановятся.
Вывод: вы правы, в холодильник класть не стоит. Лучше оставить под полотенцем и съесть за пару дней, а излишки — заморозить :)