Здравствуйте! Понимаю вашу проблему, на юге обычным березам действительно приходится тяжело из-за жары и нехватки воды. Береза повислая сама по себе дерево северное, но у нее есть интересные декоративные формы и сорта, которые лучше переносят засушливые условия.
Обратите внимание на сорта с ажурной кроной, например, Youngii (Юнги) с плакучей формой или Tristis. Однако сами по себе они не являются почвопокровными засухоустойчивыми монстрами, им потребуется хороший полив в первые годы после посадки.
Главное правило для южных регионов — посадить саженец в полутень, а не на палящее солнце, и обязательно замульчировать приствольный круг толстым слоем коры, чтобы влага не испарялась мгновенно.